Teorema de Thales

El Teorema de Thales es uno de los teoremas fundamentales en la geometría euclídea. Este teorema tiene muchas aplicaciones prácticas tanto dentro de la matemática como en la vida cotidiana.

En este artículo podrás aprender todo lo que requieres saber sobre este teorema: su definición, un poco de historia, además de aplicaciones y ejercicios resueltos.

•  Echa un vistazo: Los números romanos.

Algunos conceptos previos para entender mejor el teorema de Thales

Antes de empezar a hablar sobre el teorema de Thales debemos claridad sobre algunos conceptos fundamentales en geometría:

Rectas paralelas:

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto común, es decir que jamás coinciden en un punto.

Aquí vemos algunos ejemplos de rectas paralelas:

RECTAS PARALELAS VERTICALES	RECTAS PARALELAS HORIZONTALES
RECTAS PARALELAS OBLICUAS

En todos los casos anteriores, las rectas L₁ y L₂ son paralelas.
No importa si son horizontales, verticales u oblicuas, lo importante es saber que las rectas paralelas nunca coincidirán, ni se tocarán.

Rectas paralelas en el entorno

En el ambiente y, en general, en la cotidianidad observamos rectas paralelas en muchas circunstancias.
Veamos algunos de los muchísimos ejemplos de rectas paralelas que hay en nuestro entorno:

Rectas paralelas imaginarias

También podemos trazar de forma imaginaria algunas rectas paralelas a partir de objetos de nuestro entorno.

Fíjate en las siguientes imágenes:

REPRESENTACIÓN ORIGINAL	REPRESENTACIÓN CON RECTAS PARALELAS IMAGINARIAS

Veamos otro ejemplo:

REPRESENTACIÓN ORIGINAL	REPRESENTACIÓN CON RECTAS PARALELAS IMAGINARIAS

Como puedes ver, en la imagen con las rectas paralelas imaginarias los segmentos en rojo son del mismo tamaño que las líneas amarillas puenteadas que van desde el suelo al punto más alto, tanto del hombre como del árbol.

Rectas secantes

Dos rectas son secantes si tienen un punto común. Es decir, si se cortan en un punto.

Todo lo contrario a las rectas paralelas que no tienen punto de corte o coincidencia.

Veamos algunos ejemplos de rectas secantes:

En los cuatro ejemplos anteriores vemos como L₁ y L₂ son rectas secantes pues tienen un punto en común donde se cortan.

En el ejemplo 4 vemos un caso muy especial de dos rectas secantes que se cortan formando ángulos de 90º. Estas reciben el nombre de rectas perpendiculares.

Rectas paralelas cortadas por rectas secantes

Podemos observar en algunas figuras que las rectas paralelas pueden ser intersectadas por una o más rectas secantes.

Veamos algunos ejemplos:

En los ejemplos anteriores vemos como las rectas paralelas L₁ y L₂ son cortadas por las rectas secantes L₃ y L₄.

Podemos notar como se forman segmentos de recta que están determinados por los puntos de intersección A, B, C y D.

Tenemos en cada caso los segmentos:

Proporcionalidad

Para entender el teorema de Thales debemos recordar de qué trata la proporcionalidad.

Esto quiere decir que si una magnitud se duplica, la otra se duplicará, si una magnitud se triplica la otra también se triplicará. De igual manera, si una magnitud se reduce a la mitad la otra magnitud también lo hará a la mitad.

Veamos este primer ejemplo:

Digamos que 1 kg de pechuga de pollo cuesta 6€. Si compramos 2 Kg de pollo pagaremos 12€, pero si compramos ½ Kg de pollo pagaría 6€. Veamos esta relación en la siguiente tabla:

El cociente de proporcionalidad que comentamos anteriormente se obtiene, en este caso, al dividir el precio a pagar entre el número de Kg de pollo que compramos. Veamos:

⁶₁= ¹²₂= ¹⁸₃= 6

Cuando disminuye también se cumple. Fíjate:

3 ÷ ¹₂ = ⁶₁ = 6 y 2 ÷ ¹₃ = ⁶₁ = 6

El cociente de proporcionalidad en este caso es 6.

Proporcionalidad en los lados de triángulos semejantes

En Matemática los triángulos que tienen lados proporcionales son semejantes y, recíprocamente, los triángulos semejantes tienen lados proporcionales.

Veamos un ejemplo:

En los triángulos 1 y 2 los lados correspondientes son proporcionales, de manera que los triángulos son semejantes y las medidas de sus lados se relacionan así:

Veamos cuál es su cociente de proporcionalidad:

Entonces tenemos que:

El cociente de proporcionalidad es 2.

Definición del teorema

Los triángulos para la matemática son elementos geométricos de gran importancia. Son muchos los problemas, las modelaciones y visualizaciones que se pueden ejecutar apoyándose en ellos.  Las ideas de semejanza, han permitido formular una serie de proposiciones en las que los triángulos y las proporciones son los protagonistas.

En este artículo hablaremos de uno de los teoremas geométricos más conocidos e importantes, como lo es el  Teorema de Thales.

Teorema de Thales

Consideremos el triángulo de vértices ABC.

En el triángulo de vértices ABC se tiene que AC // DE . A partir de esta condición de paralelismo estableceremos lo siguiente:

1. Los <BDE y <BAC son de igual medida.
2. Los <ABC y <DBE son de igual medida.

Por los criterios de semejanza de triángulos y por lo establecido en 1 y 2, podemos afirmar que los ΔABC y ΔDBE son semejantes.

Por lo tanto, se tiene que:
^AB_DB = ^CB_EB

La relación anterior, es cierta siempre que dos triángulos sean semejantes. Tal y como ocurre con los triángulos ΔABC y ΔDBE representados en la figura.

Si consideramos que las longitudes de los segmentos son las siguientes:

AB = g + h, CB = i + j, DB = g, EB= i

• Entonces, ^AB_DB = ^CB_EB se puede escribir como:  ^{g + h}_g = ^{i + j}_i.
• Reescribiendo la igualdad se tiene:  ^g_g + ^h_g = ⁱ_i + ^j_i.
• Simplificando: 1 + ^h_g = 1 + ^j_i
• Aplicando la ley de la cancelación:  ^h_g = ^j_i
• Transponiendo términos: h.i = j.g
• Transponiendo términos nuevamente: ⁱ_j = ^g_h
• La expresión anterior es equivalente a:  ^g_h = ⁱ_j

El resultado obtenido es lo que se conoce con el nombre de Teorema de Thales, el cual puede ser expresado como sigue:

De este Teorema se desprende lo que se conoce como el reciproco del Teorema de Thales, que consiste en afirmar que:

Un poco de historia sobre Thales de Mileto y su teorema

El Teorema que acabamos de formular garantiza que el segmento  ha quedado dividido en siete segmentos de igual medida.

Veamos este otro ejemplo de aplicación del teorema de Thales:

Un poste de luz de 12 m de alto proyecta una sombra de 5m a cierta hora del día. ¿Qué altura tendrá un árbol cercano que proyecta una sombra de 4m a la misma hora?

En este caso podemos aplicar el teorema de Thales porque los triángulos formados son semejantes. Es decir que sus lados son proporcionales.

• De manera que:

¹²_x = ⁴₅

• Nos queda:

12 . 5 = 4x

• Luego:

⁶⁰₄ = x

• De esto resulta que:

x = 15 metros

• Por último, el árbol mide 15 metros.

Te dejamos unas actividades para que puedas practicar lo aprendido:

Selecciona un juego 👇 👇 👇

Posiciones relativas entre dos rectas

Proporcionalidad

Los triángulos y la proporcionalidad

Teorema de Thales

Aplicación del teorema de Thales 1

Aplicación del teorema de Thales 2

Cuestionario

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Mª Gabriela Gracia y Darwin Silva

Profesores universitarios. Magísters en Educación Mención Enseñanza de la Matemática. Investigadores en el área de innovaciones educativas.